Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，點A，B的坐標分別為（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB=AC，直線BC交軸于點D，拋物線經過點A，B，D．

（1）求直線BC和拋物線的函數表達式；

（2）點P是直線BD下方的拋物線上一點，求△PCD面積的最大值，以及△PCD面積取得最大值時，點P的坐標；

（3）若點P的坐標為（2）小題中，△PCD的面積取得最大值時對應的坐標．平面內存在直線l，使點B，D，P到該直線的距離都相等，請直接寫出所有滿足條件的直線l的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）△PCD的面積最大值為，P（3，）；（3），，

【解析】

（1）如下圖，先求出點C的坐標，從而求得BC的解析式，進而得出點D的坐標，從而得出拋物線的解析式；

（2）如下圖，設點P的橫坐標為，，將△PCD的面積用t表示出來，利用二次函數的性質求出最大值；

（3）存在三條直線，分別是△PDB三條中位線所在的直線．

解：（1）過點C作CE⊥軸，垂足為E．

∵AB=AC，∠AOB=∠CEA=90°，∠ABO=∠CAE，

∴△ABO≌△CAE．

∴AO=CE，BO=AE．

∵A（1，0），B(0，2)，∴CE=AO=1，AE=BO=2．

∴C(3，1)．

設直線BC的函數表達式為（）．

把點B（0，2），C(3，1)代入，得

解方程組，得

所以，直線BC的函數表達式為．

令，得，

∴D(6，0)．

∵拋物線經過點A（1，0），D (6，0)．

∴解方程組，得

∴拋物線的函數表達式為．

（2）過點P作軸的垂線，垂足為H，交BD于點F．令P的橫坐標為．

∵點P在BD直線下方的拋物線上移動，

∴PF=．

過點C作CG⊥PF，垂足為G．

．

所以，當時，△PCD的面積取得最大值，最大值為．

此時點P坐標為（3，）．

（3）滿足條件的直線有三條，是△PDB三條中位線所在的直線．

圖形如下圖，點I、J、K分別是BP、BD和PD的中點

∵P(3，-2)，B(0，2)，D(6，0)

∴I(，0)，J(3，1)，K(，-1)

∴IJ所對應的直線解析式為：

IK所對應的直線解析式為：

JK所對應的直線解析式為：

綜上得：三條直線的函數表達式分別為，，．