Question

【題目】如圖，△ABC中，D是AB上一點，DE⊥AC于點E，F是AD的中點，FG⊥BC于點G，與DE交于點H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，連接GE，GD．

（1）求證：△ECG≌△GHD；

（2）小亮同學經過探究發現：AD＝AC+EC．請你幫助小亮同學證明這一結論．

（3）若∠B＝30°，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）是菱形，證明見解析

【解析】

（1）依據條件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依據F是AD的中點，FG∥AE，即可得到FG是線段ED的垂直平分線，進而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（注：本小題也可以通過證明四邊形ECGH為矩形得出結論）.

（2）過點G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，依據EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

（3）依據∠B=30°，可得∠ADE=30°，進而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根據四邊形AEGF是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形．

解：（1）∵AF＝FG，

∴∠FAG＝∠FGA，

∵AG平分∠CAB，

∴∠CAG＝∠FAG，

∴∠CAG＝∠FGA，

∴AC∥FG，

∵DE⊥AC，

∴FG⊥DE，

∵FG⊥BC，

∴DE∥BC，

∴AC⊥BC，

∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，

∵F是AD的中點，FG∥AE，

∴H是ED的中點，

∴FG是線段ED的垂直平分線，

∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，

∴∠CGE＝∠GDE，

∴△ECG≌△GHD；

（2）證明：過點G作GP⊥AB于P，

∴GC＝GP，而AG＝AG，

∴△CAG≌△PAG，

∴AC＝AP，

由（1）可得EG＝DG，

∴Rt△ECG≌Rt△DPG，

∴EC＝PD，

∴AD＝AP+PD＝AC+EC；

（3）四邊形AEGF是菱形，

證明：∵∠B＝30°，

∴∠ADE＝30°，

∴AE＝AD，

∴AE＝AF＝FG，

由（1）得AE∥FG，

∴四邊形AEGF是平行四邊形，

∵AE＝AF，

∴四邊形AEGF是菱形．