Question

【題目】如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．

（1）如圖①，在AB上取一點D，將紙片沿OD翻折，使點A落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標；

（2）如圖②，若OE上有一動點P（不與O，E重合），從點O出發，以每秒1個單位的速度沿OE方向向點E勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t＜5），過點P作PM⊥OE交OD于點M，連接ME，求當t為何值時，以點P、M、E為頂點的三角形與△ODA相似？

Answer 1

【答案】（1）點D的坐標為（5，2.5）；（2）當t=2.5或4時，以點P、M、E為頂點的三角形與△ODA相似．

【解析】

（1）由翻折的性質可知OE＝5，然后利用勾股定理可求得CE＝3，從而求得點E的坐標，然后在三角形EDB中，利用翻折的性質和勾股定理可求得AD的長，從而可求得點D的坐標；

（2）首先證明∠EPM＝90°，首先根據相似三角形的性質可知∠PEM＝∠DOA或∠PME＝∠DOA，然后利用相似三角形的性質可求得t的值．

（1）由翻折的性質可知：OE=OA=5，

在Rt△OCE中，CE==3，

∴點E的坐標為（3，4），

∴EB=CB﹣CE=5﹣3=2，

設AD=x，則BD=4﹣x，

由翻折的性質可知：ED=AD=x，

在Rt△BED中，EB2+BD2=ED2，即22+（4﹣x）2=x2，

解得：x=2.5，

∴AD=2.5，

∴點D的坐標為（5，2.5）；

（2）由翻折的性質可知：∠OED=∠DAO=90°，∠DOE=∠DOA，

∵PM∥ED，

∴∠MPE+∠PED=180°，

∴∠MPE=90°，

∴∠MPE=∠DAO，

當點P、M、E為頂點的三角形與△ODA相似時，有△PEM∽△AOD或△PME∽△AOD，

∴∠PEM=∠DOA或∠PME=∠DOA，

①當∠PEM=∠DOA時，在△OPM和△EPM中，，

∴△OPM≌△EPM，

∴PE=PO．

∴t=2.5；

②當∠PME=∠DOA時，OP=t，則PE=5﹣t．

∵∠DOE=∠DOA，

∴tan∠DOE=tan∠DOA，

∴，

∴PM=，

∵∠PME=∠DOA，

∴tan∠PME=tan∠DOA，

∴，即，

解得：t=4，

綜上所述，當t=2.5或4時，以點P、M、E為頂點的三角形與△ODA相似．