Question

【題目】直線在同一平面內有平行和相交兩種位置關系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關系，今天我們就來探究一下這些奇妙的圖形吧！

（問題探究）

（1）如圖1，請直接寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；

（2）將圖1變形為圖2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的結果如何？請寫出證明過程；

（3）將圖1變形為圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結果如何？請寫出證明過程．

（變式拓展）

（4）將圖3變形為圖4，已知∠BGF=160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數是 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；證明見解析；（3）；證明見解析；（4）．

【解析】

（1）根據三角形外角的性質∠2=∠C+∠E，∠1=∠A+∠2，根據三角形內角和等于180°即可求解．

（2）根據三角形外角的性質∠ABE=∠C+∠E，∠DBC=∠A+∠D，即可證明此結論．

（3）根據三角形外角的性質，∠DFG=∠B+∠E，∠FGD=∠A+∠C，即可證明此結論．

（4）根據三角形內角和定理和三角形的性質進行轉換即可得出答案．

（1）如圖1，

∵∠2=∠C+∠E，∠1=∠A+∠2，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠B+∠D=180°；

故答案為：180°；

（2）將圖①變形成圖②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然為180°．

證明：如圖2，

∵∠ABE=∠C+∠E，∠DBC=∠A+∠D，

∠ABE+∠DBE+∠DBC=180°，

∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°

∴將圖①變形成圖②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然為180°；

（3）將圖①變形成圖③，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E還為180°．

證明：如圖3，

∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D=180°，

∠DFG=∠B+∠E，∠FGD=∠A+∠C，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，

∴將圖①變形成圖③，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E還為180°．

（4）320°．

如圖4，

根據三角形中，一個內角的補角等于其余兩個內角的和，

∴四邊形FGBD中：∠FGB=∠B+∠D+∠F，

四邊形ACGE中：∠CGE=∠A+∠C+∠E，

∵∠CGE=∠BGF=160°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=320°，

故答案為：320°．