Question

已知：拋物線，對稱軸為直線，拋物線與y軸交于點，與軸交于、兩點．

   (1)求直線的解析式；

   (2)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值；

   (3)為拋物線上一點，若以線段為直徑的圓與直線切于點,求點的坐標．

 

Answer 1

 

（1）

（2）

（3）

解析:解：（1）∵對稱軸

       ∴           ……………………………………………………1分

        ∵ 

       ∴

設直線AC的解析式為

∵，, 代入得：

        直線的解析式為  ………………………………………2分

     （2）代數方法一：

過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N．

設，則…………………………………3分

       ∵

                      

              

             ……………………………………5分

       ∴當時，四邊形ABCD面積有最大值.

       代數方法二：

        

       =

       = ……………………………………5分

       ∴當時，四邊形ABCD面積有最大值.

      幾何方法：

       過點作的平行線，設直線的解析式為.

      由得：………………………………3分

      當時，直線與拋物線只有一個公共點

即：當時,△ADC的面積最大,四邊形ABCD面積最大

      此時公共點的坐標為       ………………………………4分

                       

=                                ………………………………5分

      即：當時，四邊形ABCD面積有最大值.

（3）如圖所示，由拋物線的軸對稱性可求得（1，0）

        ∵以線段為直徑的圓與直線切于點

       ∴過點作的垂線交拋物線于一點，則此點必為點. 

      過點作軸于點， 可證Rt△PEB∽Rt△BOC

       ∴，故EB=3PE，……………………………………………………6分

       設，

       ∵B（1，0）

       ∴BE=1-x，PE=

       ，

        解得（不合題意舍去），  

         ∴P點的坐標為： .………………………………………………7分