Question

（2011•利川市一模）如圖，已知：拋物線y=ax²+bx-4（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，A、B兩點的坐標分別為A（-6，0）、B（2，0）．
（1）求這條拋物線的函數表達式；
（2）已知在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PB+PC的值最小，請求出點P的坐標；
（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E．連接PD、PE．設CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數關系式．試說明S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、B的坐標代入二次函數的解析式，即可得到方程組求得a，b的值，從而得到函數的解析式；
（2）求出C關于對稱軸的對稱點C′坐標，然后利用待定系數法求得直線BC′的解析式，與對稱軸的交點就是P；
（3）求得DE的解析式，進而得到PF、OE的長度，根據S=

1

2

PF•OE即可求得函數的解析式．

解答：解：（1）根據題意得：

36a-6b-4=0 4a+2b-4=0

，
解得：

a= 1 3 b= 4 3

，
則拋物線的函數表達式是：y=

1

3

x²+

4

3

x-4；

（2）在：y=

1

3

x²+

4

3

x-4，中令x=0，解得y=-4，則C的坐標是（0，-4）．
二次函數的解析式是：x=-

4 3

2 3

=-2，
C關于x=-2的對稱點C′的坐標是（-4，-4）．
設直線BC′的解析式是y=kx+b，
則

-4k+b=-4 2k+b=0

，
解得：

k= 2 3 b=- 4 3

，
在直線的解析式是：y=

2

3

x-

4

3

，令x=-2，解得y=-

8

3

，
則P的坐標是：（-2，-

8

3

）；

（3）設D的坐標是（0，c），
設直線PC的解析式是y=ex+f，則

f=-4 -2e+f=- 8 3

，
解得：

f=-4 e=- 2 3

，
則直線的解析式是：y=-

2

3

x-4，
因為CD=m，則D的坐標是（m-4，0），則直線DE的解析式是：y=-

2

3

x+（m-4）．
令x=-2，解得：y=m-

8

3

，故F的坐標是（-2，m-

8

3

），則PF=m，
令y=0，解得：x=

3

2

m-6．即OE=6-

3

2

m．
E的面積為S=

1

2

PF•OE=

1

2

m（6-

3

2

m），
即S=-

3

4

m²+3m（0＜m＜4）．
當x=

3

3 2

=2時，有最大值是：3．

點評：本題考查了對稱點的性質，待定系數法求函數的解析式，直線平行的條件的綜合應用，求得DE的解析式是關鍵．