Question

已知：拋物線，對稱軸為直線，拋物線與y軸交于點，與軸交于、兩點．
(1)求直線的解析式；
(2)若點是線段下方拋物線上的動點，求四邊形面積的最大值；
(3)為拋物線上一點，若以線段為直徑的圓與直線切于點,求點的坐標．

Answer 1

（1）
（2）
（3）解析:
解：（1）∵對稱軸
∴            ……………………………………………………1分
∵ 
∴
設直線AC的解析式為
∵，, 代入得：
直線的解析式為  ………………………………………2分
（2）代數方法一：
過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N．

設，則…………………………………3分
∵
               

              
              ……………………………………5分
∴當時，四邊形ABCD面積有最大值.
代數方法二：
 
=
= ……………………………………5分
∴當時，四邊形ABCD面積有最大值.
幾何方法：
過點作的平行線，設直線的解析式為.
由得：………………………………3分
當時，直線與拋物線只有一個公共點
即：當時,△ADC的面積最大,四邊形ABCD面積最大
此時公共點的坐標為        ………………………………4分
                 
=                                 ………………………………5分
即：當時，四邊形ABCD面積有最大值.
（3）如圖所示，由拋物線的軸對稱性可求得（1，0）

∵以線段為直徑的圓與直線切于點
∴過點作的垂線交拋物線于一點，則此點必為點. 
過點作軸于點， 可證Rt△PEB∽Rt△BOC
∴，故EB=3PE，……………………………………………………6分
設，
∵B（1，0）
∴BE=1-x，PE=
，
解得（不合題意舍去），  
∴P點的坐標為： .………………………………………………7分