Question

【題目】如圖1，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E，F分別在邊AB，CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上(點M不與點A，D重合)，點C落在點N處，MN與CD交于點P，設BE＝x．

(1)當AM＝時，求x的值；

(2)如圖2，連接BM、過B點作BH⊥MN，垂足為H，求證：BM是∠ABH的角平分線；

(3)隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值；

(4)設四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數表達式，并求出S的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x＝．（2）證明見解析；（3）不變，△DMP的周長為2；（4）S＝(2x－)，面積的最小值為．

【解析】

（1）利用勾股定理構建方程，即可解決問題；

（2）通過證明△BAM≌△BHM進而可得∠ABM＝∠MBH，即可得證；

（3）設AM＝y，則BE＝EM＝x，MD＝1﹣y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的關系式，可證Rt△AEM∽Rt△DMP，根據相似三角形的周長比等于相似比求△DMP的周長；

（4）作FH⊥AB于H．則四邊形BCFH是矩形．連接BM交EF于O，交FH于K．根據梯形的面積公式構建二次函數，利用二次函數的性質解決最值問題即可；

解：（1）如圖，在Rt△AEM中，AE＝1﹣x，EM＝BE＝x，AM＝，

∵AE2+AM2＝EM2，

∴（1﹣x）2+（）2＝x2，

∴x＝．

（2）∵EB＝EM，

∴∠EBM＝∠EMB．

∵∠EBC＝∠EMN，

∴∠MBC＝∠BMN．

∵AD∥BC，

∴∠MBC＝∠AMB，

∴∠AMB＝∠BMN，

又∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，

∴△BAM≌△BHM．

∴∠ABM＝∠MBH，

∴BM是∠ABH的角平分線；

（3）△DMP的周長不變，為2．

理由：設AM＝y，則BE＝EM＝x，MD＝1﹣y，

在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2+AM2＝EM2，

∴（1﹣x）2+y2＝x2，

解得1+y2＝2x，

∴1﹣y2＝2（1﹣x）

∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D，

∴Rt△AEM∽Rt△DMP，

∴＝，

即＝，

解得DM+MP+DP＝＝2．

∴△DMP的周長不變，為2．

（4）作FH⊥AB于H．連接BM交EF于O，交FH于K．

則四邊形BCFH是矩形．

在Rt△AEM中，AM＝＝，

∵B、M關于EF對稱，

∴BM⊥EF，

∴∠KOF＝∠KHB，

∵∠OKF＝∠BKH，

∴∠KFO＝∠KBH，

∵AB＝BC＝FH，∠A＝∠FHE＝90°，

∴△ABM≌△HFE，

∴EH＝AM＝，

∴CF＝BH＝x﹣，

∴S＝（BE+CF）BC

＝（x+x﹣）

＝（2x﹣）

＝ [（）2﹣+1]

＝（﹣）2+．

∴S＝（2x﹣），

當＝時，S有最小值＝．