Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，分別過四個頂點A、B、C、D做四條直線EF、FG、GH、HE，并保證相鄰兩條直線垂直，相交于E、F、G、H四點，且AE=BF=CG=DH．

（1）求證：四邊形EFGH是正方形；

（2）判斷無論如何按照上述要求作圖，線段EG、AC的中點是否重合，并說明理由；

（3）判斷四邊形EFGH的面積有無最大值，若有請寫出面積最大值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）線段EG、AC的中點重合，理由見解析；（3）面積最大值為128cm2,理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質得出∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結論；（2）連接AC、EG，交點為O；先證明△AOE≌△COG，得出OA=OC，證出O為對角線AC、BD的交點，即O為正方形的中心；（3）理由敘述合理即可．

（1）∵相鄰兩條邊互相垂直，

∴∠E=∠F=∠G=∠H=90°，

又∵AE=BF=CG=DH，AB=BC=CD=DA，

∴△EAB≌△FBC≌△GCD≌△HAD，

∴AH=BE=CF=DG，

∴EF=FG=GH=HE，

∵相鄰兩條邊互相垂直，

∴四邊形EFGH是正方形；

（2）（證法不唯一）

線段EG、AC的中點重合.

連結EC、AG，

∵AE= CG，且AE∥CG，

∴四邊形AECG為平行四邊形，

∴線段EG、AC的中點重合.

（3）有最大值，面積最大值為128cm2.如圖，

當ABCD分別為各邊中點時，四邊形EFGH面積最大.（理由敘述合理即可.）

例如：在各種情況中當ABCD分別為各邊中點時，四邊形EFGH邊長為正方形ABCD對角線，其他情況中邊長都比對角線小.