Question

如圖，已知平行四邊形ABCD，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于N，交BD于F，連結AF、CE．
(1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；
(2)當AECF為菱形，M點為BC的中點時，求AB：AE的值．

Answer 1

（1）證明見解析(2)

（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），
∴BC∥AD（平行四邊形的對邊相互平行）。
又∵AM丄BC（已知），∴AM⊥AD。
∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN。∴AE∥CF。
又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四邊形的對邊相等）。
在△ADE和△CBF中， ∠DAE=∠BCF="90" ，AD=CB，∠ADE=∠FBC，
∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的對應邊相等）。
∴四邊形AECF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。
（2）如圖，連接AC交BF于點0，當AECF為菱形時，則AC與EF互相垂直平分。

∵BO=OD（平行四邊形的對角線相互平分），
∴AC與BD互相垂直平分。
∴ABCD是菱形（對角線相互垂直平分的平行四邊形是菱形）。
∴AB=BC（菱形的鄰邊相等）。
∵M是BC的中點，AM丄BC（已知），∴△ABM≌△CAM。
∴AB=AC（全等三角形的對應邊相等）。∴△ABC為等邊三角形。
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°。
在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=。
又∵AE=CF，AB=BC，∴AB：AE=。
（1）根據平行四邊形的性質、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AE∥CF；然后由ASA推知△ADE≌△CBF；最后根據全等三角形的對應邊相等知AE=CF，根據對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定得出結論。
（2）如圖，連接AC交BF于點0．由菱形的判定定理推知平行四邊形ABCD是菱形，根據菱形的鄰邊相等知AB=BC；然后結合已知條件“M是BC的中點，AM丄BC”證得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF（全等三角形的對應邊相等），從而證得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數的定義求得CF：BC=tan∠CBF= ，利用等量代換知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=。