Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+5經過點M（1，3）和N（3，5）

（1）試判斷該拋物線與x軸交點的情況；
（2）平移這條拋物線，使平移后的拋物線經過點A（﹣2，0），且與y軸交于點B，同時滿足以A、O、B為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線過M、N兩點，

把M、N坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣3x+5，

令y=0可得x2﹣3x+5=0，

該方程的判別式為△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，

∴拋物線與x軸沒有交點；

（2）

解：∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），點B在y軸上，

∴B點坐標為（0，2）或（0，﹣2），

可設平移后的拋物線解析式為y=x2+mx+n，

①當拋物線過點A（﹣2，0），B（0，2）時，代入可得 ，解得 ，

∴平移后的拋物線為y=x2+3x+2，

∴該拋物線的頂點坐標為（﹣ ，﹣ ），而原拋物線頂點坐標為（ ， ），

∴將原拋物線先向左平移3個單位，再向下平移3個單位即可獲得符合條件的拋物線；

②當拋物線過A（﹣2，0），B（0，﹣2）時，代入可得 ，解得 ，

∴平移后的拋物線為y=x2+x﹣2，

∴該拋物線的頂點坐標為（﹣ ，﹣ ），而原拋物線頂點坐標為（ ， ），

∴將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位即可獲得符合條件的拋物線

【解析】本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、函數與方程的關系、等腰三角形的性質、坐標平移和分類討論等．在（1）中注意方程與函數的關系，在（2）中確定出B點的坐標是解題的關鍵，注意拋物線頂點坐標的求法．本題屬于基礎題，難度不大．（1）把M、N兩點的坐標代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，再根據一元二次方程根的判別式，可判斷拋物線與x軸的交點情況；（2）利用A點坐標和等腰三角形的性質可求得B點坐標，設出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點的變化即可得到平移的過程．
【考點精析】利用等腰三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．