Question

【題目】（本題滿分9分）小明一直對四邊形很感興趣，在矩形ABCD中，E是AC上任意一點，連接DE，作DE⊥EF，交AB于點F．請你跟著他一起解決下列問題：

（1）如圖①，若AB=BC，則DE，EF有什么數量關系？請給出證明．

（2）如圖②，若∠CAB=30°，則DE，EF又有什么數量關系？請給出證明．

（3）由（1）、（2）這兩種特殊情況，小明提出問題：如果在矩形ABCD中，BC=mAB，那DE，EF有什么數量關系？請給出證明．

Answer 1

【答案】（1）DE=EF．（2）DE=EF．（3）DE=EF.

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質得到∠EAH=45°，得到HE=HA，根據正方形的判定定理證明四邊形AHEG是正方形，證明△EDG≌△EFH，得到答案；（2）根據相似三角形的性質定理解答；（3）根據相似三角形的性質定理列出比例式解答．

試題解析：（1）DE=EF．

過點E作EG⊥AD與G，EH⊥AB于H，

則∠EGD=∠EHF=90°，又∠BAD=90°，

∴四邊形EGAH是矩形，

∵四邊形ABCD是矩形，AB=AD，

∴矩形ABCD為正方形，

∴∠EAH=45°，

∴HE=HA，

∴四邊形AHEG是正方形，

∴EH=EG，∠GEH=90°，

∴∠FED﹣∠GEF=∠GEH﹣∠GEF，

即∠DEG=∠FEH，

在△EDG和△EFH中，

∴△EDG≌△EFH

∴DE=EF；

（2）DE=EF．

∵∠CAB=30°，

∴，

同（1）得，∠EGD=∠EHF=90°，∠DEG=∠FEH

∴△EDG∽△EFH，

∴，

∴DE=EF；

（3）DE=EF．

同（2）得，△EDG∽△EFH，

∴，

∴DE=EF．