【題目】如圖，拋物線y=ax2+3x+c經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在第一象限的拋物線上，且點P的橫坐標為t，過點P向x軸作垂線交直線BC于點Q，設線段PQ的長為m，求m與t之間的函數關系式，并求出m的最大值；
（3）當PQ的長度取最大值時，PQ與x軸的交點記為D，在x軸上是否存在點E，使以點B，C，E為頂點的三角形與△BQD相似.如果存在，直接寫出E點坐標，如果不存在，請說明理由.
【答案】（1）y=﹣x2+3x+4．（2）存在E（-4.0）或（0，0）或（4+4
，0）
【解析】試題分析：（1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式得到關于a、c的方程組，從而可求得a、c的值；（2）先求得點C的坐標，然后依據待定系數法求得直線BC的解析式，由直線可拋物線的解析式可知P（t，-t2+3t+4），Q（t，-t+4），從而可求得QP與t的關系式，最后依據配方法可求得m的最大值；
（3）根據條件，利用相似三角形的性質即可求解.
試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+3x+c經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，
∴
解得：a=﹣1，c=4．
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．
（2）∵將x=0代入拋物線的解析式得：y=4，
∴C（0，4）．
設直線BC的解析式為y=kx+b．
∵將B（4，0），C（0，4）代入得： 
，解得：k=﹣1，b=4
∴直線BC的解析式為：y=﹣x+4．
過點P作x的垂線PQ，如圖所示：
∵點P的橫坐標為t，
∴ P（t，-t2+3t+4），Q（t，-t+4）．
∴PQ=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t．
∴m=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t＜4）．
∴當t=2時，m的最大值為4．
（3）存在E（-4.0）或（0，0）或（4+4
，0）
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀理解：由面積都是1的小正方格組成的方格平面叫做格點平面．而縱橫兩組平行線的交點叫做格點．如圖1中，有9個格點，如果一個正方形的每個頂點都在格點上，那么這個正方形稱為格點正方形． 
（1）探索發現：按照圖形完成下表：
格點正方形邊上格點數p | 格點正方形內格點數q |
| 格點正方形面積S | |
圖1 | 4 | 1 | 2 | |
圖2 | 4 | 4 | ||
圖3 | 4 | 9 | ||
圖4 | 4 |
關于格點正方形的面積S，從上述表格中你發現了什么規律？
（2）繼續猜想：類比格點正方形的概念，如果一個長方形的每個頂點都在格點上，那么這個長方形稱為格點長方形，對于格點長方形的面積，你認為也有類似（1）中的規律嗎？試以圖5中格點長方形為例來說明．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】下列事件屬于必然事件的是（ ）
A. 明天我市最高氣溫為56℃B. 下雨后有彩虹
C. 在1個標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰D. 中秋節晚上能看到月亮
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（本題滿分9分）小明一直對四邊形很感興趣，在矩形ABCD中，E是AC上任意一點，連接DE，作DE⊥EF，交AB于點F．請你跟著他一起解決下列問題：
（1）如圖①，若AB=BC，則DE，EF有什么數量關系？請給出證明．
（2）如圖②，若∠CAB=30°，則DE，EF又有什么數量關系？請給出證明．
（3）由（1）、（2）這兩種特殊情況，小明提出問題：如果在矩形ABCD中，BC=mAB，那DE，EF有什么數量關系？請給出證明．
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