Question

27、如圖，已知P點是∠AOB平分線上一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足為C、D
（1）∠PCD=∠PDC嗎？為什么？
（2）OP是CD的垂直平分線嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1））∠PCD=∠PDC．由于P點是∠AOB平分線上一點，根據角平分線的性質可以推出PC=PD，然后利用等腰三角形的性質即可得到結論；
（2）根據已知條件首先容易證明Rt△POC≌Rt△POD，從而得到OC=OD，由（1）有PC=PD，利用線段的垂直平分線的判定即可證明結論．

解答：解：（1）∠PCD=∠PDC．
理由：∵OP是∠AOB的平分線，
且PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC；

（2）OP是CD的垂直平分線．
理由：在Rt△POC和Rt△POD中，
∵PC=PD，OP=OP，
∴Rt△POC≌Rt△POD，
∴OC=OD，
由PC=PD，OC=OD，可知點O、P都是線段CD的垂直平分線上的點，
從而OP是線段CD的垂直平分線．

點評：此題主要考查了線段的垂直平分線的判定與性質，已知線段的垂直平分線往往利用它構造全等三角形來解決問題．