Question

【題目】如圖，點A，B在⊙O上，點C在⊙O外，連接AB和OC交于D，且OB⊥OC，AC=CD.

（1）判斷AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若OC=13，OD=1，求⊙O的半徑及tanB．

Answer 1

【答案】（1）AC是⊙O的切線；見解析（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件“∠CAD=∠CDA”、對頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據等腰三角形OAB的兩個底角相等、直角三角形的兩個銳角互余的性質推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切線．

（2）由勾股定理求出OA，得出OB，由三角函數的定義求出tanB即可．

（1）證明：連接OA，如圖所示：

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

∵∠BDO=∠CDA，

∴∠BDO=∠CAD，

又∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB，

∵OB⊥OC，

∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，

即∠OAC=90°，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵OC=13，OD=1，

∴AC=CD=OC﹣OD=12，

∴OA===5，

即⊙O的半徑為5，

∵OB=OA=5，

∴tanB==．