Question

5．已知圓的直徑AB=13，C為圓上一點，過C作CD⊥AB于D（AD＞BD）
（1）求證：CD²=AD•DB；
（2）若CD=6，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BC，證明△ACD∽△CBD，得出對應邊成比例，即可得出結果；
（2）由CD²=AD•DB和已知條件得出6²=AD（13-AD），解方程即可．

解答 （1）證明：連接AC、BC，如圖所示：
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD：BD=AD：CD，
∴CD²=AD•DB．
（2）解：∵CD²=AD•DB，DB=AB-AD=13-AD，
∴6²=AD（13-AD），
解得：AD=9，或AD=4（不合題意，舍去），
即AD的長為9．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質；證明三角形相似得出比例式是解本題的關鍵．