Question

10．如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，D為BC上一點，DE⊥OD交AB于E，OD=DE，雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）經過D，E兩點，求OA²-AE²的值．

Answer 1

分析 設出D（m，n），然后根據已知證得△OCD≌△DBE（AAS），得出OC=BD，CD=BE，從而得出E（m+n，n-m），即可得出OA=m+n，AE=n-m，然后根據OA²-AE²=（OA+AE）（OA-AE）以及k=xy求得即可．

解答 解：∵DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠EDB=90°，
∵∠ODC+∠COD=90°，
∴∠EDB=∠COD，
在△OCD和△DBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠COD}\\{∠OCD=∠B}\\{OD=DE}\end{array}\right.$
∴△OCD≌△DBE（AAS），
∴OC=BD，CD=BE，
設D（m，n），則E（m+n，n-m），
∴OA=m+n，AE=n-m，
∵雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）經過D，E兩點，
∴mn=1，
∴OA²-AE²=（OA+AE）（OA-AE）=（m+n+n-m）（m+n-n+m）=2n•2m=4mn=4．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，矩形的性質以及三角形全等的判定和性質，得出E的坐標是解題的關鍵．