Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交點，拋物線過兩點，與軸交于另一點．

（1）求拋物線的解析式及點的坐標；

（2）在直線上方的拋物線上是否存在點，使與的交點恰好為的中點？如果存在，求出點的坐標，如果不存在，說明理由．

（3）若點在拋物線上且橫坐標為，點是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上存在一點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形？直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（1，0） （2）不存在；答案見解析 （3）或或

【解析】

（1）先根據直線求出點A、C的坐標，再將點A、C的坐標代入拋物線，解方程組求得b、c的值即可得拋物線解析式，令

解方程即可點B的坐標；

（2）先假設點存在，設點，再過點作軸于點，過點作軸于點易知，且，繼而可求得點F的坐標，由EH＝2FG，，判定方程有無實數根即可判斷是否存在點E，使與的交點恰好為的中點；

（3）先求得點E的坐標和點N的橫坐標，再分EB為平行四邊形的邊和EB為平行四邊形的對角線兩種情況，其中EB為平行四邊形的邊時，再分點M在對稱軸右側和左側兩種情況分別求解可得．

解:（1）在中，當時

當時

拋物線的圖象經過兩點，

，

解得，

拋物線的解析式為；

令

解得

；

（2）不存在點使點為的中點，

理由是:如果點存在，設點的橫坐標為

如圖，過點作軸于點，過點作軸于點

則

，

，

點的橫坐標為，

，

∵EH＝2FG，

，

方程無實數根，

滿足條件的點不存在；

（3）或或

點在對稱軸上，

，

將代入

得: ，

，

①當為平行四邊形的邊時，分兩種情況：

點在對稱軸右側時，為對角線，

，

當時，

；

點在對稱軸左側時，為對角線，

，

當時，

，

②當為平行四邊形的對角線時，

，

當時，

；

綜上所述，的坐標為或或．