Question

【題目】圖1所示的遮陽傘，傘柄垂直于水平地面，其示意圖如圖2、當傘收緊時，點P與點A重合；當傘慢慢撐開時，動點P由A向B移動；當點P到達點B時，傘張得最開、已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、設AP=x分米．

（1）求x的取值范圍；

（2）若∠CPN=60°，求x的值；

（3）設陽光直射下，傘下的陰影（假定為圓面）面積為y，求y關于x的關系式（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）0≤x≤10；（2）x=6；（3）y=﹣πx2+54πx．

【解析】

（1）根據題意，得AC=CN+PN，進一步求得AB的長，即可求得x的取值范圍；

（2）根據等邊三角形的判定和性質即可求解；

（3）連接MN、EF，分別交AC于B、H．此題根據菱形CMPN的性質求得MB的長，再根據相似三角形的對應邊的比相等，求得圓的半徑即可．

（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，

∴AB=AC﹣BC=10分米，

∴x的取值范圍是：0≤x≤10；

（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，

∴△PCN是等邊三角形，

∴CP=6分米，

∴AP=AC﹣PC=6分米，

即當∠CPN=60°時，x=6；

（3）連接MN、EF，分別交AC于B、H，

∵PM=PN=CM=CN，

∴四邊形PNCM是菱形，

∴MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線，

PB==6-，

在Rt△MBP中，PM=6分米，

∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣（6﹣x）2=6x﹣x2．

∵CE=CF，AC是∠ECF的平分線，

∴EH=HF，EF⊥AC，

∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，

∴△CMB∽△CEH，

∴=，

∴，

∴EH2=9MB2=9（6x﹣x2），

∴y=πEH2=9π（6x﹣x2），

即y=﹣πx2+54πx．