Question

【題目】問題發現：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，分別以AC、BC為邊向外側作正方形ACDE和正方形BCFG．

（1）△ABC與△DCF面積的關系是；（請在橫線上填寫“相等”或“不相等”）
（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請結合圖2給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，且AC與BD的和為10，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外側作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI、正方形DALK，運用（2）的結論，圖中陰影部分的面積和是否有最大值？如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）相等
（2）解：成立．理由如下：

延長BC到點P，過點A作AP⊥BP于點P；過點D作DQ⊥FC于點Q．如圖所示：

∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，

∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，

∴∠ACP=∠DCQ．

在△APC和△DQC中， ，

△APC≌△DQC（AAS），

∴AP=DQ．

又∵S△ABC= BCAP，S△DFC= FCDQ，

∴S△ABC=S△DFC；

（3）解：圖中陰影部分的面積和有最大值，理由如下：

由（2）得：S△AEL=S△ABD，S△BFG=S△ABC，S△CIH=S△CBD，S△DLK=S△DAC，

∴陰影部分的面和S=S△AEL+S△BFG+S△CIH+S△DLK=2S四邊形ABCD，

設AC=x，則BD=10﹣x，

∵AC⊥BD，

∴S四邊形ABCD= AC×BD= x（10﹣x）=﹣ x2+5x=﹣ （x﹣5）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴S四邊形ABCD有最大值，最大值為 ，

∴圖中陰影部分的面積和有最大值為25．

【解析】解：（1）相等；理由如下：

∵四邊形ACDE和四邊形BCFG是正方形，

∴AC=DC，BC=FC，∠ACD=∠BCF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DCF=90°=∠ACB；

在△ABC與△DFC中， ，

∴△ABC≌△DFC（AAS）．

∴△ABC與△DFC的面積相等；

所以答案是：相等；

【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．