Question

【題目】（定義）如圖1，A，B為直線l同側(cè)的兩點，過點A作直線1的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A，B關(guān)于直線l的“等角點”．

（運用）如圖2，在平面直坐標(biāo)系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）兩點．

（1）C（4，），D（4，），E（4，）三點中，點　 　是點A，B關(guān)于直線x=4的等角點；

（2）若直線l垂直于x軸，點P（m，n）是點A，B關(guān)于直線l的等角點，其中m＞2，∠APB=α，求證：tan=；

（3）若點P是點A，B關(guān)于直線y=ax+b（a≠0）的等角點，且點P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時，求b的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）C（2）（3）b＜﹣且b≠﹣2或b＞

【解析】

（1）先求出B關(guān)于直線x=4的對稱點B′的坐標(biāo)，根據(jù)A、B′的坐標(biāo)可得直線AB′的解析式，把x=4代入求出P點的縱坐標(biāo)即可得答案；（2）如圖：過點A作直線l的對稱點A′，連A′B′，交直線l于點P，作BH⊥l于點H，根據(jù)對稱性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可證明△AGP∽△BHP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得m=

根據(jù)外角性質(zhì)可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根據(jù)正切定義即可得結(jié)論；（3）當(dāng)點P位于直線AB的右下方，∠APB=60°時，點P在以AB為弦，所對圓周為60°，且圓心在AB下方，若直線y=ax+b（a≠0）與圓相交，設(shè)圓與直線y=ax+b（a≠0）的另一個交點為Q

根據(jù)對稱性質(zhì)可證明△ABQ是等邊三角形，即點Q為定點，若直線y=ax+b（a≠0）與圓相切，易得P、Q重合，所以直線y=ax+b（a≠0）過定點Q，連OQ，過點A、Q分別作AM⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為M、N，可證明△AMO∽△ONQ，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得ON、NQ的長，即可得Q點坐標(biāo)，根據(jù)A、B、Q的坐標(biāo)可求出直線AQ、BQ的解析式，根據(jù)P與A、B重合時b的值求出b的取值范圍即可.

（1）點B關(guān)于直線x=4的對稱點為B′（10，﹣），

∴直線AB′解析式為：y=﹣，

當(dāng)x=4時，y=，

故答案為：C

（2）如圖，過點A作直線l的對稱點A′，連A′B′，交直線l于點P

作BH⊥l于點H

∵點A和A′關(guān)于直線l對稱

∴∠APG=∠A′PG

∵∠BPH=∠A′PG

∴∠APG=∠BPH

∵∠AGP=∠BHP=90°

∴△AGP∽△BHP

∴，即，

∴mn=2，即m=，

∵∠APB=α，AP=AP′，

∴∠A=∠A′=，

在Rt△AGP中，tan

（3）如圖，當(dāng)點P位于直線AB的右下方，∠APB=60°時，

點P在以AB為弦，所對圓周為60°，且圓心在AB下方

若直線y=ax+b（a≠0）與圓相交，設(shè)圓與直線y=ax+b（a≠0）的另一個交點為Q

由對稱性可知：∠APQ=∠A′PQ，

又∠APB=60°

∴∠APQ=∠A′PQ=60°

∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°

∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ

∴△ABQ是等邊三角形

∵線段AB為定線段

∴點Q為定點

若直線y=ax+b（a≠0）與圓相切，易得P、Q重合

∴直線y=ax+b（a≠0）過定點Q

連OQ，過點A、Q分別作AM⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為M、N

∵A（2，），B（﹣2，﹣）

∴OA=OB=

∵△ABQ是等邊三角形

∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，

∴∠AOM+∠NOD=90°

又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO

∵∠AMO=∠ONQ=90°

∴△AMO∽△ONQ

∴,

∴，

∴ON=2，NQ=3，∴Q點坐標(biāo)為（3，﹣2）

設(shè)直線BQ解析式為y=kx+b

將B、Q坐標(biāo)代入得

，

解得

，

∴直線BQ的解析式為：y=﹣，

設(shè)直線AQ的解析式為：y=mx+n，

將A、Q兩點代入，

解得 ，

∴直線AQ的解析式為：y=﹣3，

若點P與B點重合，則直線PQ與直線BQ重合，此時，b=﹣，

若點P與點A重合，則直線PQ與直線AQ重合，此時，b=，

又∵y=ax+b（a≠0），且點P位于AB右下方，

∴b＜﹣ 且b≠﹣2或b＞.