Question

【題目】已知拋物線C：y=﹣x2+bx+c經過A（﹣3，0）和B（0，3）兩點，將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N．
（1）求拋物線C的表達式；
（2）求點M的坐標；
（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點記為M′，它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應將拋物線C怎樣平移？為什么？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣3，0）和B（0，3）兩點，

∴ ，解得 ，

故此拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）

解：∵由（1）知拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3，

∴當x= =﹣1時，y=4，

∴M（﹣1，4）．

（3）

解：由題意，以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形的邊MN的對邊只能是M′N′，

∴MN∥M′N′且MN=M′N′．

∴MNNN′=16，

∴NN′=4．

i）當M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是MNN′M′時，將拋物線C向左或向右平移4個單位可得符合條件的拋物線C′；

ii）當M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是MNM′N′時，將拋物線C先向左或向右平移4個單位，再向下平移8個單位，可得符合條件的拋物線C′．

∴上述的四種平移，均可得到符合條件的拋物線C′．

【解析】（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）兩點代入拋物線y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根據（1）中拋物線的解析式可得出其頂點坐標；（3）根據平行四邊形的定義，可知有四種情形符合條件，如解答圖所示．需要分類討論．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和二次函數圖象的平移，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減才能得出正確答案．