Question

【題目】如圖，在△ABC中，以BC為直徑的圓交AC于點D，∠ABD=∠ACB．

（1）求證：AB是圓的切線；
（2）若點E是BC上一點，已知BE=4，tan∠AEB= ，AB：BC=2：3，求圓的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵BC是直徑，

∴∠BDC=90°，

∴∠ACB+∠DBC=90°，

∵∠ABD=∠ACB，

∴∠ABD+∠DBC=90°

∴∠ABC=90°

∴AB⊥BC，

∴AB是圓的切線．

（2）

解：在RT△AEB中，tan∠AEB= ，

∴ = ，即AB= BE= ，

在RT△ABC中， = ，

∴BC= AB=10，

∴圓的直徑為10．

【解析】本題考查切線的判定、三角函數等知識，解題的關鍵是記住經過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線，屬于中考常考題型．（1）欲證明AB是圓的切線，只要證明∠ABC=90°即可．（2）在RT△AEB中，根據tan∠AEB= ，求出BC，在在RT△ABC中，根據 = 求出AB即可．