Question

（2012•盧灣區一模）如圖，已知在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點，對稱軸l與x軸相交于點C，頂點為點D，且∠ADC的正切值為

1

2

．
（1）求頂點D的坐標；
（2）求拋物線的表達式；
（3）F點是拋物線上的一點，且位于第一象限，連接AF，若∠FAC=∠ADC，求F點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線和x軸交于A，B兩點，可求出對稱軸方程，再由已知條件可求出CD的長，進而求出D的坐標；
（2）設拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，由（1）可知h=1，k=-4，再把A或B點的坐標代入求出a的值即可；
（3）過點F作作FH⊥x軸，垂足為點H，設F（x，x²-2x-3），由已知條件求出x的值，即可求出F的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴對稱軸直線l=

-1+3

2

=1，
∵對稱軸l與x軸相交于點C，
∴AC=2，
∵∠ACD=90°，tan∠ADC=

1

2

，
∴CD=4，
∵a＞0，
∴D（1，-4）；

（2）設y=a（x-h）²+k，有（1）可知h=1，k=-4，
∴y=a（x-1）²-4，
將x=-1，y=0代入上式，
得：a=1，
所以，這條拋物線的表達為y=x²-2x-3；

（3）過點F作作FH⊥x軸，垂足為點H，
設F（x，x²-2x-3），
∵∠FAC=∠ADC，
∴tan∠FAC=tan∠ADC，
∵tan∠ADC=

1

2

，
∴tan∠FAC=

FH

AH

=

1

2

，
∵FH=x²-2x-3，AH=x+1，
∴

x2-2x-3

x+1

=

1

2

，
解得x₁=

7

2

，x₂=-1（舍），
∴F（

7

2

，

9

4

）．

點評：本題考查了二次函數的綜合應用，這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．