Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC為弦，D為弧AC的中點，AC、BD相交于點E．AP交BD的延長線于點P．∠PAC＝2∠CBD．

（1）求證：AP是⊙O的切線；

（2）若PD＝3，AE＝5，求△APE的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據切線的判定與性質、圓周角定理證明即可；

（2）根據等腰三角形的判定和性質解答即可．

（1）∵D為弧AC中點，

∴∠CBA＝2∠CBD，

∵AB為直徑，

∴∠CAB＋∠CBA＝90°，

∴∠CAB＋2∠CBD＝90°，

即∠PAC＋∠CAB＝90°，

∴PA⊥AB

∴AB為圓O切線；

（2）由（1）易得△PAE為等腰三角形PD＝3，PE＝6，AE＝5，

∴AD＝4，

∴S△APE＝ADPE＝12