Question

【題目】問題提出：某物業公司接收管理某小區后，準備進行綠化建設，現要將一塊四邊形的空地（如圖5，四邊形ABCD）鋪上草皮，但由于年代久遠，小區規劃書上該空地的面積數據看不清了，僅僅留下兩條對角線AC，BD的長度分別為20cm，30cm及夾角∠AOB為60°，你能利用這些數據，幫助物業人員求出這塊空地的面積嗎？

問題顯然，要求四邊形ABCD的面積，只要求出△ABD與△BCD（也可以是△ABC與△ACD）的面積，再相加就可以了．

建立模型：我們先來解決較簡單的三角形的情況：

如圖1，△ABC中，O為BC上任意一點（不與B，C兩點重合），連接OA，OA=a，BC=b，∠AOB=α（α為OA與BC所夾較小的角），試用a，b，α表示△ABC的面積．

解：如圖2，作AM⊥BC于點M，

∴△AOM為直角三角形．

又∵∠AOB=α，∴sinα=即AM=OAsinα

∴△ABC的面積=BCAM=BCOAsinα=absinα．

問題解決：請你利用上面的方法，解決物業公司的問題．

如圖3，四邊形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，已知AC=20m，BD=30m，∠AOB=60°，求四邊形ABCD的面積．（寫出輔助線作法和必要的解答過程）

新建模型：若四邊形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，已知AC=a，BD=b，∠AOB=α（α為OA與BC所夾較小的角），直接寫出四邊形ABCD的面積=　 　．

模型應用：如圖4，四邊形ABCD中，AB+CD=BC，∠ABC=∠BCD=60°，已知AC=a，則四邊形ABCD的面積為多少？（“新建模型”中的結論可直接利用）

Answer 1

【答案】問題解決:150;新建模型: absinα, 模型應用: a2

【解析】

問題解決，如圖5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．根據S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD計算即可；

新建模型，如圖5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=BDAE+BDCF=BD（AE+CF）=BD（OAsinα+OCsinα）=BDACsinα；

模型應用，如圖4中，在CB上取CE=CD，連接DE，AE，BD．只要證明BD=AC，∠APB=60°即可；

解：問題解決，如圖5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

∵S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=BDAE+BDCF=BD（AE+CF）=BD（OAsin60°+OCsin60°）=BDAC=150．

新建模型，如圖5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=BDAE+BDCF=BD（AE+CF）=BD（OAsinα+OCsinα）=BDACsinα=absinα，

故答案為absinα．

模型應用，如圖4中，在CB上取CE=CD，連接DE，AE，BD．

∵AB+DC=BC，

∴AB=BE，

∵∠ABC=∠BCD=60°，

∴△ABE與△CDE均為等邊三角形，

∴AE=BE，DE=CE，

∴∠AEB=∠CED=60°，

∴∠BED=∠AEC=120°，

在△BED與△AEC中，

，

∴△BED≌△AEC（SAS），

∴AC=BD，∠EAC=∠EBD，

∵∠AOP=∠BOE，

∴∠APO=∠AEB=60°，

∴S四邊形ABCD=aasin60°=a2．