Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對角線AC＝2，E為BC邊上一點，BC＝3BE，將矩形ABCD沿AE所在的直線折疊，點B恰好落在對角線AC上的點B′處，P，Q分別是AB，AC上的動點，則PE+PQ的最小值為（　　）

A.B.2C.1D.3

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據BC＝3BE利用折疊和三角函數求出∠ACB＝30°，得到AB＝，BC＝AB＝3，∠BAC＝60°，作點E關于AB的對稱點E'，連接AE'，PE'，當Q，P，E'三點共線，且E'Q⊥AC時，PE+PQ的值最小，最小值為AE'的值，根據求出答案.

∵BC＝3BE，

∴EC＝2BE，

∵折疊，

∴BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°，，

∵sin∠ACB＝，

∴∠ACB＝30°，

在Rt△ABC中，AC＝2，∠ACB＝30°，

∴AB＝，BC＝AB＝3，∠BAC＝60°，

∴∠BAE＝∠EAC＝30°，

如圖

作點E關于AB的對稱點E'，連接AE'，PE'，

∵PE+PQ＝PE'+PQ，

∴當Q，P，E'三點共線，且E'Q⊥AC時，

PE+PQ的值最小，

∵BC＝3，BC＝3BE，

∴BE＝1，

∵E'，E兩點關于AB對稱，

∴BE'＝BE＝1，∠EAB＝∠E'AB＝30°，且∠BAC＝60°，

∴∠E'AC＝90°，

即PE+PQ的最小值為AE'的值，

∵∠BAE'＝30°，BE'＝1，AB⊥CB，

∴AE'＝2，

∴PE+PQ的最小值為2．

故選：B．