Question

（2013•百色）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=

3

3

x+1交x軸于點A，交y軸于點B，點A₁、A₂、A₃，…在x軸上，點B₁、B₂、B₃，…在直線l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均為等邊三角形，則△A₅B₆A₆的周長是（　　）

• A．24

  3

• B．48

  3

• C．96

  3

• D．192

  3

Answer 1

分析：首先求得點A與B的坐標，即可求得∠OAB的度數，又由△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，易求得OB₁=OA=

3

，A₁B₁=A₁A，A₂B₂=A₂A，則可得規律：OA_n=（2ⁿ-1）

3

．根據A₅A₆=OA₆-OA₅求得△A₅B₆A₆的邊長，進而求得周長．

解答：解：∴點A（-

3

，0），點B（0，1），
∴OA=

3

，OB=1，
∴tan∠OAB=

1

3

=

3

3

，
∴∠OAB=30°，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁A=∠A₁B₂A=∠A₂B₃A=∠OAB=30°，
∴OB₁=OA=

3

，A₁B₂=A₁A，A₂B₃=A₂A，
∴OA₁=OB₁=

3

，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₂=

3

+2

3

=3

3

，
同理：OA₃=7

3

，OA₄=15

3

，OA₅=31

3

，OA₆=63

3

，
則A₅A₆=OA₆-OA₅=32

3

．
則△A₅B₆A₆的周長是96

3

，
故選C．

點評：此題考查了一次函數的性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數的知識．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．