Question

（2013•百色）如圖，在邊長為10cm的正方形ABCD中，P為AB邊上任意一點（P不與A、B兩點重合），連結DP，過點P作PE⊥DP，垂足為P，交BC于點E，則BE的最大長度為

5

2

cm．

Answer 1

分析：設AP=x，BE=y．通過△ABP∽△PCQ的對應邊成比例得到

AD

BP

=

AP

BE

，所以

10

10-x

=

x

y

，即y=-

1

10

x²+x．利用“配方法”求該函數的最大值．

解答：解：設AP=x，BE=y．
如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°
∵PE⊥DP，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△ADP∽△BPE，
∴

AD

BP

=

AP

BE

，即

10

10-x

=

x

y

，
∴y=-

1

10

x²+x=-

1

10

（x-5）²+

5

2

（0＜y＜10）；
∴當x=5時，y有最大值

5

2

．
故答案是：

5

2

．

點評：本題主要考查正方形的性質和二次函數的應用，關鍵在于理解題意運用三角形的相似性質求出y與x之間的函數關系，求最大值時，運用到“配方法”．