Question

【題目】在平面直角坐標系中，為原點，點A（，0），點B（0，1），點E是邊AB中點，把繞點A順時針旋轉，得△ADC，點O，B旋轉后的對應點分別為D，C．記旋轉角為．

（Ⅰ）如圖①，當點D恰好在AB上時，求點D的坐標；

（Ⅱ）如圖②，若時，求證：四邊形OECD是平行四邊形；

（Ⅲ）連接OC，在旋轉的過程中，求△OEC面積的最大值（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）D（－，）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）．

【解析】

（1）先求出∠BAO的度數，然后求出AM、DM的長度，進而求出OM的長度，從而得出點D的坐標；

（2）先得出△BOE是等邊三角形，得到OB=OE=DC，再得到OE∥DC，從而得出結論；

（3）以為圓心，為半徑畫，過點作交的延長線于點，當三點共線時，此時高最大，面積最大，求出的值，利用面積公式直接求解即可．

解：（Ⅰ）由題意：OA=，OB=1，

∴在△AOB中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝30°．

由旋轉性質得，DA＝OA=，

過D作DM⊥OA于M，

則在Rt△DAM中，DM=，AM=，

∴OM=AO－OM=－，

∴D（－，）．

（Ⅱ）延長OE交AC于F，

在Rt△AOB 中，點E為AB的中點，∠BAO＝30°，

∴OE＝BE=AE．

又∠ABO=60°，∴△BOE是等邊三角形，

∴OE=OB，∴∠BOE=60°，∴∠EOA=30°，

由旋轉性質，DC=OB ，

∴OE=DC．

∵，

∴∠OAD＝60°，

由旋轉性質知，

∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA=∠OBA＝60°，

∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC=90°，

∴∠OFA＝90°－∠EOA=90°－30°=60°，

∴∠DCA＝∠OFA，

∴OE∥DC．

∴四邊形OECD是平行四邊形．

（III）以為圓心，為半徑畫，過點作交的延長線于點，

在，

∵∠BAO＝30°，

∴,

∵為中點，是直角三角形，

∴，

∴，

∵圓中最長的弦是直徑，

∴當點旋轉到如圖所示的位置時，即三點共線時，此時高最大，面積最大，

∵，

∴在中，

∵，

∴，

∴，

此時，；