Question

【題目】如圖，已知△CAD與△CEB都是等邊三角形，BD、EA的延長線相交于點F．

（1）求證：△ACE≌△DCB．

（2）求∠F的度數．

（3）若AD⊥BD，請直接寫出線段EF與線段BD、DF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）EF＝BD+2DF.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到CB=CE，CD=CA，∠BCE=∠DCA=60°，由全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）設BC與EF相交于G，根據全等三角形的性質得到∠1=∠2，根據三角形的內角和即可得到結論；
（3）根據垂直的定義得到∠ADF=90°，求得∠DAF=30°，根據直角三角形的性質得到AF=2DF，根據全等三角形的性質得到AE=BD，于是得到結論．

（1）∵△CAD與△CEB都是等邊三角形，

∴CB＝CE，CD＝CA，∠BCE＝∠DCA＝60°，

∴∠BCD＝∠ECA，

∴△ACE≌△DCB（SAS）；

（2）設BC與EF相交于G，

由（1）可知△ACE≌△DCB，

∴∠1＝∠2，

∵∠1+∠BGF+∠F＝∠2+∠AGC+∠BCE＝180°，

而∠BGF＝∠AGC，

∴∠F＝∠BCE＝60°；

（3）EF＝BD+2DF，理由如下：

∵AD⊥BD，

∴∠ADF＝90°，

∵∠F＝60°，

∴∠DAF＝30°，

∴AF＝2DF，

∵△ACE≌△DCB，

∴AE＝BD，

∴EF＝AE+AF＝BD+2DF．