Question

【題目】已知點O在△ABC內，且知OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作直線EF分別交AB、AC于E、F．

（1）如圖1，已知EF∥BC．

①若∠A＝76°，請直接寫出∠BOE+∠COF的度數；

②猜想∠BOE、∠COF與∠A之間有怎樣的數量關系？寫出結論，不用證明

（2）直線EF繞點O旋轉到如圖2的位置時（EF與BC不平行），那么上面（1）②中猜想的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

（3）當直線EF繞點O旋轉到如圖3的位置時（點E在AB的延長線上），請直接寫出∠BOE、∠COF與∠A之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①52°；②∠BOE+∠COF＝90°﹣∠A，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）∠COF﹣∠BOE＝90°﹣∠A

【解析】

（1）①根據平行線的性質和三角形內角和定理進行計算；

②用①中的方法進行推導，同樣依據平行線的性質和三角形內角和定理得出角的關系；
（2）根據三角形內角和定理以及平角的性質即可證得∠BOE+∠COF=90°-∠A；
（3）根據三角形內角和定理以及平角的定義即可證得∠COF-∠BOE=90°-∠A.

（1）①如圖1，∵EF∥BC，

∴∠BOE＝∠1，∠COF＝∠2，

∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB

∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，

∴∠BOE+∠COF＝∠1+∠2＝90°﹣∠A＝90°﹣＝52°；

②猜想∠BOE+∠COF＝90°﹣∠A，

證明：∵EF∥BC，

∴∠BOE＝∠1，∠COF＝∠2，

∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB

∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，

∴∠BOE+∠COF＝∠1+∠2＝90°﹣∠A；

（2）成立．

證明：如圖2，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，

∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A

∵∠BOE+∠COF+∠3＝∠1+∠2+∠3＝180°

∴∠BOE+∠COF＝∠1+∠2＝90°﹣∠A；

（3）解：如圖3，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，

∴∠BOC＝180°﹣∠ABC+∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°+∠A，

∵∠BOC﹣∠BOE+∠COF＝180°，

∴∠COF﹣∠BOE＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；