Question

【題目】已知正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，直線與直線交于點，直線交直線于點，連接，．

（1）如圖1，當時，求證：平分；

（2）如圖2，將圖1中的繞點逆時針旋轉，其他條件不變，（1）的結論是否成立？說明理由；

（3）當是等腰三角形時，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析；（3）AG的長為4或或8

【解析】

（1）先證CDF≌CBE，進而可得，CF＝CE，由此可得∠DFC＝67.5°，再根據，CF＝CE可求得，進而可證得FC平分∠DFE；

（2）延長AD到M，使DM＝BE，先證DMC≌BEC，可得CM＝CE，∠MCD＝∠ECB，再證MCF≌ECF，由此可得∠MFC＝∠EFC，進而可證得FC平分∠DFE；

（3）分三種情形畫出圖形分別求解即可解決問題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD＝CA，∠B＝∠D＝∠DCA＝90°

又DF＝BE，

∴CDF≌CBE（SAS）

∴，CF＝CE，

∴∠DFC＝90°－22.5°＝67.5°，，

∴∠DFC＝∠CFE，

∴FC平分∠DFE；

（2）解：成立，

延長AD到M，使DM＝BE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CB＝CD，∠CDA＝∠B＝∠DCB＝90°，

∴∠DCF+∠ECB＝90°－∠ECF＝45°，

∵∠CDM＝180°－∠CDA＝90°＝∠B

∴DMC≌BEC（SAS）

∴CM＝CE，∠MCD＝∠ECB，

∴∠DCF+∠MCD＝45°，

即∠MCE＝∠ECF＝45°，

又CF＝CF，

∴MCF≌ECF（SAS），

∴∠MFC＝∠EFC，

∴FC平分∠DFE，

（3）解：如圖1，當GC＝GH時，

∵∠GCH＝45°，

∴∠GHC＝∠GCH＝45°，

∴∠CGH＝90°，

∴∠CGB+∠AGH＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠CGB+∠BCG＝90°，

∴∠AGH＝∠BCG，

∴AHG≌BGC（AAS），

∴AG＝BC＝4；

如圖2，當CH＝HG時，

同理可以證明GAH≌HDC

∴AH＝BC＝4，

∴AG＝DH＝AD+AH＝8．

如圖3，當CG＝CH時，

則∠CGH＝∠CHG＝(180°﹣45°)＝67.5°．

∵∠B＝∠D＝90°，CD＝CB，CH＝CG，

∴RtCDH≌RtCBG（HL）

∴DH＝BG，

又∵AD＝AB，

∴AH＝AG，

∴∠AGH＝∠AHG＝45°，

∴∠AGC＝∠CGH﹣∠AGH＝22.5°，

∵CG＝CH，AC＝AC，AG＝AH，

∴DMC≌BEC（SSS），

∴∠ACG＝∠ACH＝22.5°，

∴∠ACG＝∠AGC，

∴AC＝AG，

∵在RtACD中，AC＝，

∴AG＝，

綜上所述，AG的長為4或或8．