Question

【題目】已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH＝2，連接CF．

（1）若DG＝2，求證四邊形EFGH為正方形；

（2）若DG＝6，求△FCG的面積；

（3）當DG為何值時，△FCG的面積最小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S△FCG=1；（3）當DG＝時，△FCG的面積最小為（7-）．

【解析】

（1）利用菱形和矩形的性質得到∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，進而利用HL證得

Rt△AHE≌Rt△DGH，根據全等三角形的性質得到∠DHG＝∠HEA，證得∠EHG＝90°，即可得證；

（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有∠HEG＝∠FGE，進而得到∠AEH＝∠MGF，再結合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可證△AHE≌△MFG，從而有FM＝HA＝2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2，進而可求三角形面積；

（3）設DG＝x，則由第（2）小題得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，進而可求x≤，從而得到當DG＝時，△FCG的面積最小.

（1）∵四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，

∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，

∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），

∴∠DHG＝∠HEA，

∵∠AHE+∠HEA＝90°，

∴∠AHE+∠DHG＝90°，

∴∠EHG＝90°，

∴四邊形HEFG為正方形；

（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，

∵AB∥CD，

∴∠AEG＝∠MGE，

∵HE∥GF，

∴∠HEG＝∠FGE，

∴∠AEH＝∠MGF，

在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，

∴△AHE≌△MFG，

∴FM＝HA＝2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2，

因此；

（3）設DG＝x，則由第（2）小題得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，

∴HE2≤53，

∴x2+16≤53，

∴x≤

∴S△FCG的最小值為，此時DG＝，

∴當DG＝時，△FCG的面積最小為（）．