Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC="3" ，tan∠BAC=，將∠ABC對折，使點C的對應點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O，以點O為坐標原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系

（1）求過A、B、O三點的拋物線解析式；
（2）若在線段AB上有一動點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于M，設PM的長度等于d，試探究d有無最大值，如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．
（3）若在拋物線上有一點E，在對稱軸上有一點F，且以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E的坐標．

Answer 1

（1）y=；（2）當t=時，d有最大值，最大值為2；（3）

試題分析：（1）在Rt△ABC 中，根據∠BAC的正切函數可求得AC=4，再根據勾股定理求得AB，設OC=m，連接OH由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，即得AH=AB-BH=2，OA=4-m．在Rt△AOH 中，根據勾股定理可求得m的值，即可得到點O、A、B的坐標，根據拋物線的對稱性可設過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-），再把B點坐標代入即可求得結果；
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，根據待定系數法求得直線AB的解析式，設動點P（t，），則M（t，），先表示出d關于t的函數關系式，再根據二次函數的性質即可求得結果；
（3）設拋物線y=的頂點為D，先求得拋物線的對稱軸，與拋物線的頂點坐標，根據拋物線的對稱性，A、O兩點關于對稱軸對稱．分AO為平行四邊形的對角線時，AO為平行四邊形的邊時，根據平行四邊形的性質求解即可.
（1）在Rt△ABC 中，∵BC="3" ，tan∠BAC=，
∴AC=4．
∴AB=．
設OC=m，連接OH

由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．
∴在Rt△AOH 中， OH²+AH²=OA²，即m²+2²=(4-m)²，得 m=．
∴OC=，OA=AC－OC=，
∴O（0，0） A（，0），B（-，3）．
設過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-）．
把x=，y=3代入解析式，得a=．
∴y=x（x-）=．
即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=．
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，根據題意得
，解之得，．
∴直線AB的解析式為y=． 
設動點P（t，），則M（t，）． 
∴d=（）—（）=—=
∴當t=時，d有最大值，最大值為2．
（3）設拋物線y=的頂點為D．
∵y==，
∴拋物線的對稱軸x=，頂點D（，-）．
根據拋物線的對稱性，A、O兩點關于對稱軸對稱．
當AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．這時點D即為點E，所以E點坐標為（）．
當AO為平行四邊形的邊時，由OA=，知拋物線存在點E的橫坐標為或，即或，
分別把x=和x=代入二次函數解析式y=中，得點E（，）或E（-，）．
所以在拋物線上存在三個點：E₁（，-），E₂（，），E₃（-，），使以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．
點評：此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵，注意數形結合思想與方程思想的應用．