Question

【題目】如圖，一次函數y=3x與反比例函數y=的圖象交于點A，B，點P在以C(﹣4，0)為圓心，1為半徑的⊙C上，Q是AP的中點，若OQ長的最大值為，則k的值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作輔助線，先確定OQ長的最大時，點P的位置，當BP過圓心C時，BP最長，設B（t，3t），則CD＝t（4）＝t＋4，BD＝3t，根據勾股定理計算t的值，可得k的值．

解：如圖，連接BP，
由對稱性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中點，
∴OQ＝BP，
∵OQ長的最大值為
∴BP長的最大值為2×＝5，
如圖，當BP過圓心C時，BP最長，過B作BD⊥x軸于D，
∵CP＝1，
∴BC＝BP-1=4，
∵B在直線y＝3x上，
設B（t，3t），則CD＝t（4）＝t＋4，BD＝3t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2＋BD2，
∴42＝（t＋4）2＋（3t）2，
解得t＝0（舍）或，
∴B（,），
∵點B在反比例函數y＝（k＞0）的圖象上，
∴k＝（）×（）＝．
故答案為：．