Question

【題目】如圖，在中，，，，點為邊上的一個動點（點不與點重合），過作，垂足為，點在邊上，且與點關于直線對稱，連接，.

（1）若平分，求線的長；

（2）能否為等腰三角形？若能，請確定點的位置；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的長為10；（2）能為等腰三角形，當時，為等腰三角形.

【解析】

(1)先由勾股定理求出AB，由角平分線的性質得出DC=DO，再由HL證明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，設BD=x，則DC=DO=16-x，由△DOB∽△ACB.得出方程，解方程即可；

(2) 根據題意得出當△AB′D為等腰三角形時，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出，設BD=5y，則AB′=DB′=5y，BO=B′O=4y，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出y，即可得出BD．

（1），，，

，

平分，，，

，

設，則，

易得.

，

則，

解得：， 的長為10；

（2）能為等腰三角形.

由點與點關于直線對稱，可得

，，，

為銳角，也為銳角，為鈍角，

當為等腰三角形時，，

，

，

設，則，.

，

，解得：，

.

即當時，為等腰三角形.