Question

【題目】我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規定：F（n）= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．

（1）若F（a）=且a為100以內的正整數，則a=________；

（2）如果m是一個兩位數，那么試問F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此時m的取值并簡要說明理由.

Answer 1

【答案】（1）6，24，54，96；（2）當m為最大的兩位數質數97時，F（m）存在最小值，最小值為.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知且，由此可得，即a=6或24或54或96；

（2）由F（m）=且可知，F（m）的最大值為1，此時，則m是一個完全平方數，找出兩位數中的所有完全平方數即可得到m的值；由F（m）=且可知，當m是兩位數中的最大質數時，F（m）的值最小，找到兩位數中的最大質數即可得到答案.

試題解析：

（1）∵，F（a）=，

∴，

∴ a=6或24或54或96；

（2）F（m）存在最大值和最小值.

①∵F（m）=且，

∴F（m）的最大值為1，此時，

∴當m是一個完全平方數時，F（m）有最大值1，

又∵m是兩位數，

∴當m=16或25或36或49或64或81時，F（m）有最大值1；

②當m為質數時，p=1，q=m，此時由題意可知F（m）=，

∴當m為兩位數中的最大質數97時，F（m）最小，

此時F（m）=F（97）=.