Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD＝2∠BAC，過點C作CE⊥DB交DB的延長線于點E，直線AB與CE交于點F．

（1）求證：CF為⊙O的切線；

（2）填空：

①若AB＝4，當OB＝BF時，BE＝______；

②當∠CAB的度數為______時，四邊形ACFD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①1；②30°．

【解析】

（1）連結OC，如圖，由于∠OAC＝∠OCA，則根據三角形外角性質得∠BOC＝2∠OAC，而∠ABD＝2∠BAC，所以∠ABD＝∠BOC，根據平行線的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據切線的判定定理得CF為⊙O的切線；

（2）①由平行線分線段成比例可得，即可求BE的長；

②根據三角形的內角和得到∠F＝30°，根據等腰三角形的性質得到AC＝CF，連接AD，根據平行線的性質得到∠DAF＝∠F＝30°，根據全等三角形的性質得到AD＝AC，由菱形的判定定理即可得到結論．

證明：（1）連結OC，如圖，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠OAC，

∵∠ABD＝2∠BAC，

∴∠ABD＝∠BOC，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CF為⊙O的切線；

（2）①∵AB＝4，

∴OB＝BF＝OC＝2，

∴OF＝4，

∵BE∥OC，

∴，

∴BE＝1，

故答案為：1；

②當∠CAB的度數為30°時，四邊形ACFD是菱形，

理由：∵∠CAB＝30°，

∴∠COF＝60°，

∴∠F＝30°，

∴∠CAB＝∠F，

∴AC＝CF，

連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BD，

∴AD∥CF，

∴∠DAF＝∠F＝30°，

在△ACB與△ADB中，

，

∴△ACB≌△ADB（AAS），

∴AD＝AC，

∴AD＝CF，

∵AD∥CF，

∴四邊形ACFD是菱形．

故答案為：30°．