Question

【題目】現代城市綠化帶在不斷擴大，綠化用水的節約是一個非常重要的問題．

如圖1、圖2所示，某噴灌設備由一根高度為0.64 m的水管和一個旋轉噴頭組成，水管豎直安裝在綠化帶地面上，旋轉噴頭安裝在水管頂部（水管頂部和旋轉噴頭口之間的長度、水管在噴灌區域上的占地面積均忽略不計），旋轉噴頭可以向周圍噴出多種拋物線形水柱，從而在綠化帶上噴灌出一塊圓形區域．現測得噴的最遠的水柱在距離水管的水平距離3 m處達到最高，高度為1 m．

（1）求噴灌出的圓形區域的半徑；

（2）在邊長為16 m的正方形綠化帶上固定安裝三個該設備，噴灌區域可以完全覆蓋該綠化帶嗎？如果可以，請說明理由；如果不可以，假設水管可以上下調整高度，求水管高度為多少時，噴灌區域恰好可以完全覆蓋該綠化帶．（以上需要畫出示意圖，并有必要的計算、推理過程）

Answer 1

【答案】（1）8m；（2）不可以，水管高度調整到0.7m，理由見解析.

【解析】

（1）根據題意設最遠的拋物線形水柱的解析式為，然后將（0,0.64）代入解析式求得a的值，然后求解析式y=0時，x的值，從而求得半徑；（2）利用圓與圓的位置關系結合正方形，作出三個等圓覆蓋正方形的圖形，然后利用勾股定理求得圓的半徑，從而使問題得解.

解：（1）由題意，設最遠的拋物線形水柱的解析式為，將（0,0.64）代入解析式，得

解得：

∴最遠的拋物線形水柱的解析式為

當y=0時，

解得：

所以噴灌出的圓形區域的半徑為8m；

（2）如圖，三個等圓覆蓋正方形

設圓的半徑MN=NB=ME=DE=r，則AN=16-r,,MD=,AM=16-

∴在Rt△AMN中，

解得： （其中，舍去）

∴

設最遠的拋物線形水柱的解析式為，將（8.5,0）代入

解得:

∴

當x=0時，y=

∴水管高度約為0.7m時，噴灌區域恰好可以完全覆蓋該綠化帶