Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點O為AB中點，點P為直線BC上的動點（不與B、C重合），連接OC、OP，將OP繞點P順時針旋轉60°，得到線段PQ，連接BQ，若∠BPO＝15°，BP＝4，則BQ的長為_____．

Answer 1

【答案】2+2或4﹣4

【解析】

分兩種情況：①當點P在CB延長線上時，連接OQ，證得△OBC是等邊三角形得出，由旋轉的性質得出△OPQ是等邊三角形，得出，推出，由SAS證得得出，證得，過點P作PD⊥BQ于D，則，由勾股定理得出，證得△QDP是等腰直角三角形得出，則；

②當點P在BC延長線上時，連接OQ，證得△OBC是等邊三角形得出，推出，由旋轉的性質得出△OPQ是等邊三角形得出，推出，由SAS證得得出，證得，過點Q作QE⊥BP于E，則，設，則，由勾股定理得出，由等腰直角三角形的性質得出，則，求解即可得出答案．

依題意，分以下兩種情況：

①如圖1，當點P在CB延長線上時，連接OQ

中，點O為AB中點

∴△OBC是等邊三角形

∵OP繞點P順時針旋轉，得到線段PQ

∴△OPQ是等邊三角形

在△COP和△BOQ中，

過點P作PD⊥BQ于D，則

∴△QDP是等腰直角三角形

；

②如圖2，當點P在BC延長線上時，連接OQ

中，點O為AB中點

∴△OBC是等邊三角形

∵OP繞點P順時針旋轉，得到線段PQ

∴△OPQ是等邊三角形

在△COP和△BOQ中，

過點Q作QE⊥BP于E，則

設，則

解得，即

綜上，BQ的長為或

故答案為：或．