Question

如圖，矩形ABCD的邊AD、AB分別與⊙O相切于E、F，AE=

3

．
（1）求弧EF的長．
（2）若AD=

3

+5，直線MN分別交DA、DC于點M、N，∠DMN=60°，將直線MN沿射線DA方向平移，當MN和⊙O第一次相切時，求點D到直線MN的距離．
（3）若點D到直線MN的距離為4時，請直接寫出⊙O和直線MN的位置關系．

Answer 1

（1）連接OE、OF．
∵AD、AB與⊙O相切于E、F，
∴OE⊥AD，OF⊥AB
∵矩形ABCD中，∠A=90°，
∴四邊形OEAF是矩形．
∵OE=OF，
∴四邊形OEAF是正方形，
∴OE=OF=AE=

3

，∠O=90°，
∴弧EF的長為：

90π× 3

180

=

3 π

2

；

（2）當MN和⊙O第一次相切時，設MN交AD于P，交BC于Q，連接OP，OE，過D作DG⊥MN于G．
∵MN∥PQ，
∴∠DMN=∠DPQ=60°，
∴∠APQ=120°．
∵PA和PQ與⊙O相切，
∴∠EPO=∠OPQ=60°．
在△OEP中，∠OEP=90°，∠EOP=30°，OE=

3

，
∴EP=1，OP=2，
∴DP=AD-AE-EP=

3

+5-

3

-1=4．
在△DPG中，∵∠DGP=90°，∠PDG=30°，
∴DG=PD•cos30°=2

3

，
∴點D到直線MN的距離d為2

3

；

（3）設點D到直線MN的距離為d．
由（2）知，當d=2

3

時，直線MN與⊙O第一次相切，
∵⊙O的半徑為

3

，∴當d=4

3

時，直線MN與⊙O第二次相切，
又∵2

3

＜4＜4

3

，
∴當d=4時，MN直線與⊙O相交．