Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A（4，0）是拋物線y=ax2+2x-c上的一點，將此拋物線向下平移6個單位后經過點B（0，2），平移后所得的新拋物線的頂點記為C，新拋物線的對稱軸與線段AB的交點記為P．

（1）求平移后所得到的新拋物線的表達式，并寫出點C的坐標；

（2）求∠CAB的正切值；

（3）如果點Q是新拋物線對稱軸上的一點，且△BCQ與△ACP相似，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+2，點C的坐標為（1，3）；（2）tan∠CAB=；（3）Q（1，）．

【解析】

（1）先根據點B（0，2）向上平移6個單位得到點B'（0，8），將A（4，0），B'（0，8）分別代入y=ax2+2x-c，得原拋物線為y=-x2+2x+8，向下平移6個單位后所得的新拋物線為y=-x2+2x+2，據此求得頂點C的坐標；

（2）根據A（4，0），B（0，2），C（1，3），得到AB2=20，AC2=18，BC2=2，進而得出AB2=AC2+BC2，根據∠ACB=90°，求得tan∠CAB的值即可；

（3）先設拋物線的對稱軸x=1與x軸交于點H，根據=，求得PH=AH=，進而得到P（1，），再由HA=HC=3，得∠HCA=45°，根據當點Q在點C下方時，∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ與△ACP相似分兩種情況，根據相似三角形的性質即可得到點Q的坐標．

解：（1）點B（0，2）向上平移6個單位得到點B'（0，8），

將A（4，0），B'（0，8）分別代入y=ax2+2x-c，得

，

解得，

∴原拋物線為y=-x2+2x+8，向下平移6個單位后所得的新拋物線為y=-x2+2x+2，

∴頂點C的坐標為（1，3）；

（2）如圖2，由A（4，0），B（0，2），C（1，3），得

AB2=20，AC2=18，BC2=2，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴tan∠CAB===；

（3）如圖3，設拋物線的對稱軸x=1與x軸交于點H，

由==，得PH=AH=，

∴P（1，），

由HA=HC=3，得∠HCA=45°，

∴當點Q在點C下方時，∠BCQ=∠ACP，

因此△BCQ與△ACP相似分兩種情況：

①如圖3，當=時，=，

解得CQ=4，

此時Q（1，-1）；

②如圖4，當=時，=，

解得CQ=，

此時Q（1，）．