Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A是拋物線與x軸正半軸的交點，點B在拋物線上，其橫坐標為2，直線AB與y軸交于點點M、P在線段AC上不含端點，點Q在拋物線上，且MQ平行于x軸，PQ平行于y軸設點P橫坐標為m．

（1）求直線AB所對應的函數表達式．

（2）用含m的代數式表示線段PQ的長．

（3）以PQ、QM為鄰邊作矩形PQMN，求矩形PQMN的周長為9時m的值．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為；（2）見解析；（3）m的值為或．

【解析】試題分析：（1）先利用二次函數解析式求出A點和B點坐標，然后利用待定系數法求直線AB的解析式；

（2）設P（m，-m+8），則Q（m，-m2+4m），討論：當0＜m≤2時，PQ=m2-5m+8；當2＜m＜8時，PQ=-m2+5m-8；

（3）先表示出M（m2-4m+8，-m2+4m），討論：當0＜m≤2，QM=m2-5m+8，利用矩形周長列方程得到2（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，然后解方程求出滿足條件m的值；當2＜m＜8，QM=-m2+5m-8，利用矩形周長列方程得到2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，然后解方程求出滿足條件m的值．

試題解析：（1）當y=0時，-x2+4x=0，解得x1=0，x2=8，則A（8，0）；

當x=2時，y=-x2+4x=6，則B（2，6），

設直線AB所對應的函數表達式為y=kx+b，

將A（8，0），B（2，6）代入可得，

解得，

所以直線AB的解析式為y=-x+8；

（2）設P（m，-m+8），則Q（m，-m2+4m），

當0＜m≤2時，PQ=-m+8-（-m2+4m）=m2-5m+8；

當2＜m＜8時，PQ=-m2+4m-（-m+8）=-m2+5m-8；

（3）∵MQ∥x軸，

∴M點的縱坐標為-m2+4m，

∴M點的橫坐標為m2-4m+8，即M（m2-4m+8，-m2+4m），

當0＜m≤2，QM=m2-4m+8-m=m2-5m+8，

∵2（PQ+QM）=9，

∴2（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，

整理得2m2-20m+23=0，解得m1=，m2=（舍去）；

當2＜m＜8，QM=m-（m2-4m+8）=-m2+5m-8，

∵2（PQ+QM）=9，

∴2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，

整理得2m2-20m+41=0，解得m1=，m2=（舍去）；

綜上所述，m的值為或．