Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E，F分別為BC，CD上的點，且AE⊥BF，垂足為G．

（1）求證：AE＝BF；（2）若BE＝，AG＝2，求正方形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）正方形的邊長為.

【解析】

（1）由正方形的性質得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，由AE⊥BF，得出∠CBF+∠AEB＝90°，推出∠BAE＝∠CBF，由ASA證得△ABE≌△BCF即可得出結論；

（2）證出∠BGE＝∠ABE＝90°，∠BEG＝∠AEB，得出△BGE∽△ABE，得出BE2＝EGAE，設EG＝x，則AE＝AG+EG＝2+x，代入求出x，求得AE＝3，由勾股定理即可得出結果．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵AE⊥BF，垂足為G，

∴∠CBF+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

在△ABE與△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴AE＝BF；

（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABC＝90°，

∵AE⊥BF，

∴∠BGE＝∠ABE＝90°，

∵∠BEG＝∠AEB，

∴△BGE∽△ABE，

∴＝，

即：BE2＝EGAE，

設EG＝x，則AE＝AG+EG＝2+x，

∴（）2＝x（2+x），

解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合題意舍去），

∴AE＝3，

∴AB＝＝＝．