Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.直線經過拋物線與坐標軸的兩個交點B和C。

（1）求直線BC的解析式；

（2）點D是線段BC上的一個動點（與兩個端點均不重合），過點D引y軸的平行線PD交拋物線于點P，設拋物線的對稱軸為直線，如果以點P為圓心的⊙P與直線BC相切，請用點P的橫坐標x表示⊙P的半徑R。

（3）在（2）的基礎上判斷⊙P與直線的位置關系。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，⊙P與拋物線對稱軸x=1相離，當時，⊙P與拋物線對稱軸x=1相切，當時，⊙P與拋物線對稱軸x=1相交.

【解析】試題分析： 分別令求得三點的坐標，即可用待定系數法求出直線的解析式.

設點D坐標為（）（0<x<4）,P(),進而表示出,

作于點M，延長PD交x軸于點H，先用勾股定理求出的長，用三角函數即可表示出的半徑

分類討論即可.

試題解析：（1）令中y=0，得，

，

解得： ，

易知

將B、C坐標分別代入，得解得： ，

∴直線BC的解析式為： ；

（2）由題可設點D坐標為（）（0<x<4）,P(),

∴PD== ,(∵),

如圖1，作于點M，延長PD交x軸于點H，則

，∴，

∴的半徑 ，即；

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5 圖6

（3）拋物線的對稱軸是直線x=1，分類討論：

①當與直線x=1在左側相切（0<x<1），則，

整理得： ，解得： ，∵0<x<1，∴；

②當與直線在右側相切（1<x<4），則，整理得： ，解得： ，∵1<x<4，∴；

綜上所述，當或時， 與拋物線對稱軸相離，如圖2和圖3所示；

當或時， 與拋物線對稱軸相切，如圖4和圖5所示；

當時， 與拋物線對稱軸相交，如圖6所示.