Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F．

（1）如圖1，連接AC分別交DE、DF于點M、N，求證：MN=AC；

（2）如圖2，將△EDF以點D為旋轉中心旋轉，其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點G、P，連接GP，當△DGP的面積等于時，求旋轉角的大小并指明旋轉方向．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）將△EDF以點D為旋轉中心，順時針或逆時針旋轉60°．

【解析】

試題分析：（1）連接BD，證明△ABD為等邊三角形，根據等腰三角形的三線合一得到AE=EB，根據相似三角形的性質解答即可；

（2）分∠EDF順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況，根據旋轉變換的性質解答即可．

試題解析：（1）證明：如圖1，連接BD，交AC于O，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD為等邊三角形，∵DE⊥AB，∴AE=EB，∵AB∥DC，∴=，同理，=，∴MN=AC；

（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°，當∠EDF順時針旋轉時，由旋轉的性質可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，∵∠GDE=∠PDF，∠DEG=∠DFP，DE=DF，∴△DEG≌△DFP，∴DG=DP，∴△DGP為等邊三角形，∴△DGP的面積==，解得，DG=，則cos∠EDG=，∴∠EDG=60°，∴當順時針旋轉60°時，△DGP的面積等于；

同理可得，當逆時針旋轉60°時，△DGP的面積也等于，綜上所述，將△EDF以點D為旋轉中心，順時針或逆時針旋轉60°時，△DGP的面積等于．