Question

【題目】某公司設計了一款產品，每件成本是50元，在試銷期間，據市場調查，銷售單價是60元時，每天的銷量是250件，而銷售單價每增加1元，每天會少售出5件，公司決定銷售單價x（元）不低于60元，而市場要求x不得超過100元．

（1）求出每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（2）求出每天的銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并求出當x為多少時，每天的銷售利潤最大，并求出最大值；

（3）若該公司要求每天的銷售利潤不低于4000元，但每天的總成本不超過6250元，則銷售單價x最低可定為多少元？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣5x+550．（60≤x≤100）；（2）當x＝80時，y有最大值為4500元；（3）單價x最低可定為85元．

【解析】

（1）由“每增加1元，銷量減少5件”可知，單價為x元時增加5（x﹣60）件，用增加的件數加上原銷量即可表示出銷售量y；

（2）根據“每天利潤=（售價﹣成本）×銷售量”列出函數解析式，再對二次函數進行配方即可求出利潤的最大值；

（3）令W=4000，求出x的值，再根據拋物線圖象寫出W≥4000時x的取值范圍；再根據總成本不超過6250列出不等式，聯立兩個不等式即可求出x的取值范圍，從而確定x的最小值．

（1）y=250﹣5（x﹣60），即y=﹣5x+550（60≤x≤100）；

（2）W=（x﹣50）（﹣5x+550），即y=﹣5x2+800x﹣27500．

配方得：W=﹣5（x﹣80）2+4500．

∵a=﹣5，∴拋物線開口向下，∴當x=80時，y有最大值為4500元；

（3）令W=4000時，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得：x1=70，x2=90．

由拋物線圖象可知，當W≥4000元時，x的取值范圍為70≤x≤90．

又∵50（﹣5x+550）≤6250，解得：x≥85，∴x取值范圍為85≤x≤90，∴單價x最低可定為85元．