Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+2ax+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊）AB＝4，與y軸交于點C，OC＝OA，點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M（m，0）為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，可得矩形PQNM，如圖1，點P在點Q左邊，當矩形PQNM的周長最大時，求m的值，并求出此時的△AEM的面積；

（3）在(2)的條件下,當矩形PMNQ的周長最大時,連接DQ,過拋物線上一點F作y軸的平行線,與直線AC交于點G(點G在點F的上方),若FG=DQ,求點F的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）m=-2，△AEM的面積為；（3）F（-4，-5）或（1，0）．

【解析】

（1）根據拋物線y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），對稱軸為x=-1，再根據OC=OA，AB=4，可得A（-3，0），最后代入拋物線y=ax2+2ax+3，得拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；
（2）根據點M（m，0），可得矩形PQNM中，P（m，-m2-2m+3），Q（-2-m，-m2-2m+3），再根據矩形PQNM的周長=2（PM+PQ）=-2（m+2）2+10，可得當m=-2時，矩形PQNM的周長有最大值10，M的坐標為（-2，0），最后由直線AC為y=x+3，AM=1，求得E（-2，1），ME=1，據此求得△AEM的面積；

（3）在（2）的基礎上，判斷出N應與原點重合，Q點與C點重合，求出DQ=DC=，再建立方程（n+3）-（-n2-2n+3）=4即可．

解：（1）由拋物線y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），對稱軸為x==-1，
∵OC=OA，
∴A（-c，0），B（-2+c，0），
∵AB=4，
∴-2+c-（-c）=4，
∴c=3，
∴A（-3，0），
代入拋物線y=ax2+2ax+3，得
0=9a-6a+3，
解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；
（2）如圖1，∵M（m，0），PM⊥x軸，

∴P（m，-m2-2m+3），
又∵對稱軸為x=-1，PQ∥AB，
∴Q（-2-m，-m2-2m+3），
又∵QN⊥x軸，
∴矩形PQNM的周長
=2（PM+PQ）
=2[（-m2-2m+3）+（-2-m-m）]
=2（-m2-4m+1）
=-2（m+2）2+10，
∴當m=-2時，矩形PQNM的周長有最大值10，
此時，M（-2，0），
由A（-3，0），C（0，3），可得
直線AC為y=x+3，AM=1，
∴當x=-2時，y=1，即E（-2，1），ME=1，

∴△AEM的面積= ；

（3）∵M（-2，0），拋物線的對稱軸為x=-l，
∴N應與原點重合，Q點與C點重合，
∴DQ=DC，
把x=-1代入y=-x2-2x+3，解得y=4，
∴D（-1，4），
∴DQ=DC=．
∵FG=2DQ，
∴FG=4．
設F（n，-n2-2n+3），則G（n，n+3），
∵點G在點F的上方且FG=4，
∴（n+3）-（-n2-2n+3）=4．
解得n=-4或n=1，
∴F（-4，-5）或（1，0）．