Question

【題目】如圖，內接于⊙，是⊙的直徑，，連接交于點，延長至點，使，連接．

（1）判斷直線與⊙的位置關系，并說明理由．

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）直線是⊙的切線，理由見解析；（2）16.

【解析】

（1）連接AC，根據圓周角定理得到∠ACB=90°，根據等腰三角形的性質得到∠CAN=∠EAC，∠E=∠EAC，得到∠B=∠FAC，等量代換得到∠FAC+∠BAC=90°，求得OA⊥AF，于是得到結論；
（2）過點C作CM⊥AE，根據三角函數的定義得到，設CM=3x，則AM=4x，根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）直線是⊙的切線，理由是：連接，

∵為⊙直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵點在⊙上，

∴直線是⊙的切線；

（2）過點作，

∵，

∴，

∵，

∴設，則，

在中，根據勾股定理，，

∴，

解得，

∴，

∵，

∴．